2/02-th-02-schol-dialog4
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| Fermato questo, passeró adesso a dimostrare il teorema, cioè che: | This point established, I pass to the demonstration of the following theorem: |
| I gradi di velocità d'un mobile descendente con moto naturale dalla medesima sublimità per piani in qualsivoglia modo inclinati, all'arrivo all'orizonte son sempre eguali, rimossi gl'impedimenti. | If a body falls freely along smooth planes inclined at any angle whatsoever, but of the same height, the speeds with which it reaches the bottom are the same. |
| Qui devesi prima avvertire, che stabilito che in qualsivoglino inclinazioni il mobile dalla partita dalla quiete vada crescendo la velocità, o la quantità {10} dell'impeto, con la proporzione del tempo (secondo la definizione data dall'Autore al moto naturalmente accelerato), onde, com'egli ha per l'antecedente proposizione dimostrato, gli spazii passati sono in duplicata proporzione de' tempi, e conseguentemente de' gradi di velocità; quali furono gl'impeti nella prima mossa, tali proporzionalmente saranno i gradi delle velocità guadagnati nell'istesso tempo, poiché e questi e quelli crescono con la medesima proporzione nel medesimo tempo. | (Condition 2/00-th-00-dialog1) First we must recall the fact that on a plane of any inclination whatever a body starting from rest gains speed or (Condition Impetus-veloc-prop) momentum [la quantità dell'impeto] in direct proportion to the time, in agreement with the definition of naturally accelerated motion given by the Author. (Condition 2/02-th-02) Hence, as he has shown in the preceding proposition, the distances traversed are proportional to the squares of the times (Condition 2/00-th-00-dialog1) and therefore to the squares of the speeds. The speed relations are here the same as in the motion first studied [i. e., vertical motion], since in each case the gain of speed is proportional to the time. |
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| Ora sia il piano inclinato AB, la sua elevazione sopra l'orizonte la perpendicolare AC, e l'orizontale CB; e perché, come poco fa si è concluso, l'impeto d'un mobile per la perpendicolare AC, all'impeto {20} del medesimo per l'inclinata AB, sta come AB ad AC, prendasi nell'inclinata AB la AD, terza proporzionale delle AB, AC: l'impeto dunque per AC all'impeto per la AB, cioè per la AD, sta come la AC all'AD; e perció il mobile nell'istesso tempo che passerebbe lo spazio perpendicolare AC, passerà ancora lo spazio AD nell'inclinata AB (essendo i momenti come gli spazii), ed il grado di velocità in C al grado di velocità in D averà la medesima proporzione della AC alla AD.Ma il grado di velocità in B al medesimo grado in D sta come il tempo per AB al tempo per AD, per la definizione del moto accelerato, ed il {30} tempo per AB al tempo per AD sta come la medesima AC, media tra le BA, AD, alla AD, per l'ultimo corollario della seconda proposizione; adunque i gradi in B ed in C al grado in D hanno la medesima proporzione della AC alla AD, e peró sono eguali: che è il teorema che intesi di dimostrare. | Let AB be an inclined plane whose height above the level BC is AC. (Condition 2/02-th-02-schol-dialog1) As we have seen above the force impelling [l'impeto] a body to fall along the vertical AC is to the force which drives the same body along the inclined plane AB as AB is to AC. On the incline AB, lay off AD a third proportional to AB and AC; then the force producing motion along AC is to that along AB (i. e., along AD) as the length AC is to the length AD. (Condition Aristo-time-prop)(Condition Impetus-veloc-prop) And therefore the body will traverse the space AD, along the incline AB, in the same time which it would occupy in falling the vertical distance AC, (since the forces [momenti] are in the same ratio as these distances); (Condition Impetus-veloc-prop) also the speed at C is to the speed at D as the distance AC is to the distance AD.(Condition 2/00-th-00-dialog1) But, according to the definition of accelerated motion, the speed at B is to the speed of the same body at D as the time required to traverse AB is to the time required for AD; (Condition 2/02-th-02-cor2) and, according to the last corollary of the second proposition, the time of passing through the distance AB bears to the time of passing through AD the same ratio as the distance AC (a mean proportional between AB and AD) to AD. Accordingly the two speeds at B and C each bear to the speed at D the same ratio, namely, that of the distances AC and AD; hence they are equal. This is the theorem which I set out to prove. |
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