Discorsi Propositions
parabola rigidity
Discorsi Proposition
parabola rigidity

SALV. Vorreste dunque aver la dimostrazione, come sia vero che l'eccesso del prisma sopra questo che per ora chiamiamo solido parabolico, sia la terza parte di tutto il prisma.SALV. You would like then a demonstration of the fact that the excess of the volume of a prism over the volume of what we have called the parabolic solid is one-third of the entire prism.
So d'averlo altra volta dimostrato; tenteró ora se potró rimetter insieme la dimostrazione, per la quale intanto mi sovviene che mi servivo di certo lemma d'Archimede, posto da esso nel libro delle Spirali: ed è, che se quante linee si vogliono si eccederanno egualmente, e l'eccesso sia eguale alla {30} minima di quelle, ed altrettante siano ciascheduna eguale alla massima, i quadrati di tutte queste saranno meno che tripli de i quadrati di quelle che si eccedono; ma i medesimi saranno ben più che {S. 182} tripli di quelli altri che restano, trattone il quadrato della massima.This I have already given you on a previous occasion; however I shall now try to recall the demonstration in which I remember having used a certain lemma from Archimedes' book On Spirals, namely Given any number of lines, differing in length one from another by a common difference which is equal to the shortest of these lines; and given also an equal number of lines each of which has the same length as the longest of the first-mentioned series; then the sum of the squares of the lines of this second group will be less than three times the sum of the squares of the lines in the first group. But the sum of the squares of the second group will be greater than three times the sum of the squares of all excepting the longest of the first group.
Posto questo, sia in questo rettangolo ACBP inscritta la linea parabolica AB: doviamo provare, il triangolo misto BAP, i cui lati sono BP, PA e base la linea parabolica BA, esser la terza parte di tutto 'l rettangolo CP.[182] Assuming this, inscribe in the rectangle ACBP the parabola AB. We have now to prove that the mixed triangle BAP whose sides are BP and PA, and whose base is the parabola BA, is a third part of the entire rectangle CP.
Imperó che, se non è tale, sarà o più che la terza parte o meno.If this is not true it will be either greater or less than a third.
Sia, se esser puó, meno, ed a quello che gli manca intendasi esser eguale lo spazio X.Suppose it to be less by an area which is represented by X.
Dividendo poi il rettangolo CP continuatamente in parti eguali con linee parallele a i lati BP, CA, arriveremo finalmente a parti tali, ch'una di loro sarà minore dello {10} spazio X: or sia una di quelle il rettangolo OB, e per i punti dove l'altre parallele segano la linea parabolica, facciansi passare le parallele alla AP; e qui intenderó circoscritta intorno al nostro triangolo misto una figura composta gli rettangoli, che sono BO, IN, HM, FL, EK, GA, la qual figura sarà pur ancora meno che la terza parte del rettangolo CP, essendo che l'eccesso di essa figura sopra 'l triangolo misto è manco assai del {20} rettangolo BO, il quale è ancor minore dello spazio X.By drawing lines parallel to the sides BP and CA, we can divide the rectangle CP into equal parts; and if the process be continued we shall finally reach a division into parts so small that each of them will be smaller than the area X; let the rectangle OB represent one of these parts and, through the points where the other parallels cut the parabola, draw lines parallel to AP. Let us now describe about our "mixed triangle" a figure made up of rectangles such as BO, IN, HM, FL, EK, and GA; this figure will also be less than a third part of the rectangle CP because the excess of this figure above the area of the "mixed triangle" is much smaller than the rectangle BO which we have already made smaller than X.
SAGR. Piano, di grazia, ch'io non vedo come l'eccesso di questa figura circoscritta sopra 'l triangolo misto sia manco assai del rettangolo BO.SAGR. More slowly, please; for I do not see how the excess of this figure described about the "mixed triangle" is much smaller than the rectangle BO.
SALV. Il rettangolo BO non è egli eguale a tutti questi rettangoletti per i quali passa la nostra linea parabolica? dico di questi BI, IH, HF, FE, EG, GA, de i quali una parte sola resta fuori del triangolo misto? ed il rettangolo BO non si è egli posto ancor minore dello spazio X?SALV. Does not the rectangle BO have an area which is equal to the sum of the areas of all the little rectangles through which the parabola passes? I mean the rectangles BI, IH, HF, FE, EG, and GA of which only a part lies outside the "mixed triangle." Have we not taken the rectangle BO smaller than the area X?
Adunque, se il triangolo insieme con l'X pareggiava, per l'avversario, la, terza parte del rettangolo CP, la figura {30} circoscritta, che al triangolo aggiugne tanto meno che lo spazio X, resterà pur ancora minore della terza parte del rettangolo medesimo CP: ma questo non puó essere, perchè ella e più della terza parte: adunque non è vero che il nostro triangolo misto sia manco del terzo del rettangolo [Punkt fehlt]Therefore if, as our opponent might say, the triangle plus X is equal to a third part of this rectangle CP, the circumscribed figure, which adds to the triangle an area less than X, will still remain smaller than a third part of the rectangle CP. But this cannot be, because this circumscribed figure is larger than a third of the area.Hence it is not true that our "mixed triangle" is less than a third of the rectangle.
{S. 183} SAGR. Ho intesa la soluzione del mio dubbio.[183] SAGR. You have cleared up my difficulty;
Ma bisogna ora provarci che la figura circoscritta sia più della terza parte del rettangolo CP, dove credo che aremo assai più da, fare.but it still remains to be shown that the circumscribed figure is larger than a third part of the rectangle CP, a task which will not, I believe, prove so easy.
SALV. Eh non ci è gran difficoltà.SALV. There is nothing very difficult about it.
Imperó che nella parabola il quadrato della linea DE al quadrato della ZG ha la medesima proporzione che la linea DA alla AZ, che è quella che ha il rettangolo KE al rettangolo AG (per esser l'altezze AK, KL eguali); adunque la proporzione che ha il quadrato ED al quadrato ZG, cioè il quadrato LA al quadrato AK, l'ha ancora il rettangolo KE al {10} rettangolo KZ.E nel medesimo modo appunto si proverà de gli altri rettangoli LF, MH, NI, OB star tra di loro come i quadrati delle linee MA, NA, OA, PA.Since in the parabola DE^2 : ZG^2 = DA : AZ = rectangle KE : rectangle AG, seeing that the altitudes of these two rectangles, AK and KL, are equal, it follows that ED^2 : ZG^2 = LA^2 : AK^2 = rectangle KE : rectangle KZ.In precisely the same manner it may be shown that the other rectangles LF, MH, NI, OB, stand to one another in the same ratio as the squares of the lines MA, NA, OA, PA.
Consideriamo adesso come la figura circoscritta è composta di alcuni spazii che tra di loro stanno come i quadrati di linee che si eccedono con eccessi eguali alla minima, e come il rettangolo CP è composto di altrettanti spazii ciascuno eguale al massimo, che sono tutti i rettangoli eguali all'OB; adunque, per il lemma d'Archimede, la figura circoscritta è più della terza parte del rettangolo CP: ma era anche minore, il che è impossibile: adunque il triangolo misto non è manco del terzo del rettangolo CP.Let us now consider the circumscribed figure, composed of areas which bear to each other the same ratio as the squares of a series of lines whose common difference in length is equal to the shortest one in the series; note also that the rectangle CP is made up of an equal number of areas each equal to the largest and each equal to the rectangle OB. Consequently, according to the lemma of Archimedes, the circumscribed figure is larger than a third part of the rectangle CP; but it was also smaller, which is impossible. Hence the "mixed triangle" is not less than a third part of the rectangle CP.
Dico {20} parimente che non è più.Likewise, I say, it cannot be greater.
Imperó che, se è più del terzo del rettangolo CP, intendasi lo spazio X eguale all'eccesso del triangolo sopra la terza parte di esso rettangolo CP; e fatta la divisione e suddivisione del rettangolo in rettangoli sempre eguali, si arriverà a tale che uno gli quelli sia minore dello spazio X.For, let us suppose that it is greater than a third part of the rectangle CP and let the area X represent the excess of the triangle over the third part of the rectangle CP; subdivide the rectangle into equal rectangles and continue the process until one of these subdivisions is smaller than the area X.
Sia fatta, e sia il rettangolo BO minore dell'X; e descritta come sopra la figura, avremo nel triangolo misto inscritta una figura composta de i rettangoli VO, TN, SM, RL, QK, la quale non sarà ancora minore della terza parte del gran rettangolo CP.Let BO represent such a rectangle smaller than X. Using the above figure, we have in the "mixed triangle" an inscribed figure, made up of the rectangles VO, TN, SM, RL, and QK, which will not be less than a third part of the large rectangle CP.
Imperó che il triangolo misto supera di manco assai la figura inscritta di quello che egli superi la terza parte {30} di esso rettangolo CP, atteso che l'eccesso del triangolo sopra la terza parte del rettangolo CP è eguale allo spazio X, il quale è minore del rettangolo BO, e questo è anco minore assai dell'eccesso del triangolo sopra la figura inscrittagli; imperó che ad esso rettangolo BO sono eguali tutti i rettangoletti AG, GE, EF, FH, HI, IB, {S. 184} de i quali son ancora manco che la metà gli avanzi del triangolo sopra la figura inscritta.For the "mixed triangle" exceeds the inscribed figure by a quantity less than that by which it exceeds the third part of the rectangle CP; to see that this is true we have only to remember that the excess of the triangle over the third part of the rectangle CP is equal to the area X, which is less than the rectangle BO, which in turn is much less than the excess of the triangle over the inscribed figure. For the rectangle BO is [184] made up of the small rectangles AG, GE, EF, FH, HI, and IB; and the excess of the triangle over the inscribed figure is less than half the sum of these little rectangles.
E peró, avanzando il triangolo la terza parte del rettangolo CP di più assai (avanzandolo dello spazio X) che ei non avanza la sua figura inscritta, sarà tal figura ancora maggiore della terza parte del rettangolo CP: ma ella è minore, per il lemma supposto; imperó che il rettangolo CP, come aggregato di tutti i rettangoli massimi, a i rettangoli componenti la figura inscritta ha la medesima proportione che l'aggregato di tutti i quadrati delle linee eguali alla massima a i quadrati delle linee che si eccedono egualmente, trattone il quadrato della massima; e peró (come de i {10} quadrati accade) tutto l'aggregato de i massimi (che è il rettangolo CP) è più che triplo dell'aggregato de gli eccedentisi, trattone il massimo, che compongono la figura inscritta.Thus since the triangle exceeds the third part of the rectangle CP by an amount X, which is more than that by which it exceeds the inscribed figure, the latter will also exceed the third part of the rectangle, CP. But, by the lemma which we have assumed, it is smaller. For the rectangle CP, being the sum of the largest rectangles, bears to the component rectangles of the inscribed figure the same ratio which the sum of all the squares of the lines equal to the longest bears to the squares of the lines which have a common difference, after the square of the longest has been subtracted.Therefore, as in the case of squares, the sum total of the largest rectangles, i. e., the rectangle CP, is greater than three times the sum total of those having a common difference minus the largest; but these last make up the inscribed figure.
Adunque il triangolo misto non è nè maggiore nè minore della terza parte del rettangolo CP; è dunque eguale.Hence the "mixed triangle" is neither greater nor less than the third part of rectangle CP; it is therefore equal to it.
SAGR. Bella e ingegnosa dimostrazione, e tanto più, quanto ella ci dà la quadratura della parabola, mostrandola essere sesquiterza del triangolo inscrittogli, provando quello che Archimede con due tra di loro diversissimi, ma amendue ammirabili, progressi di molte proposizioni dimostró; come anco fu dimostrata ultimamente da Luca Valerio, {20} altro Archimede secondo dell'età nostra, la qual dimostrazione e registrata nel libro che egli scrisse del centro della gravità de i solidi.SAGR. A fine, clever demonstration; and all the more so because it gives us the quadrature of the parabola, proving it to be four-thirds of the inscribed triangle, a fact which Archimedes demonstrates by means of two different, but admirable, series of many propositions. This same theorem has also been recently established by Luca Valerio, the Archimedes of our age; his demonstration is to be found in his book dealing with the centers of gravity of solids.

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