Discorsi Propositions
3/12-pr-05-dialog
Discorsi Proposition
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{303} SAGR. Mi manca, per l'intera intelligenza di questa dimostrazione, il saper come sia vero che la terza proporzionale delle bf, bi sia (come dice l'Autore) necessariamente maggiore della fa. {303} SAGR. In order to thoroughly understand this demonstration I need to be shown how the third proportional of bf and bi is, as the Author indicates, necessarily greater than fa.
SALV. Tal conseguenza mi par che si possa dedurre in tal modo.Il quadrato della media di tre linee proporzionali è equale al rettangolo dell'altre due; onde il quadrato della bi, o della bd ad essa equale, deve esser eguale al rettangolo della prima fb nella terza da ritrovarsi: la qual terza è necessario che sia maggiore della fa, perchè il rettangolo della bf in fa è minore del quadrato bd, ed il {10} mancamento è quanto il quadrato della df, come dimostra Euclide in una del secondo.Devesi anco avvertire che il punto f, che divide la tangente eb in mezo, altre molte volte cadrà sopra 'l punto a, ed una volta anco nell'istesso a; ne i quali casi è per sè noto che la terza proporzionale della metà della tangente e della bi (che dà la subblimità) è tutta sopra la a.Ma l'Autore ha preso il caso dove non era manifesto che la detta terza proporzionale fusse sempre maggiore della fa, e che peró, aggiunta sopra 'l punto f, passasse oltre alla parallela ag.SALV. This result can, I think, be obtained as follows. The square of the mean proportional between two lines is equal to the rectangle formed by these two lines. Therefore the square of bi (or of bd which is equal to bi) must be equal to the rectangle formed by fb and the desired third proportional. This third proportional is necessarily greater than fa because the rectangle formed by bf and fa is less than the square of bd by an amount equal to the square of df, as shown in Euclid, II. I. Besides it is to be observed that the point f, which is the middle point of the tangent eb, falls in general above a and only once at a; in which cases it is self-evident that the third proportional to the half of the tangent and to the sublimity bi lies wholly above a. But the Author has taken a case where it is not evident that the third proportional is always greater than fa, so that when laid off above the point f it extends beyond the parallel ag.

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