Johann Lamberts Konversion zu einer Geometrie des Raumes

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Portrait Luca Paciolis mit Edelmann von Jacopo de' Barbari, 1495. Quelle: Wikimedia Commons

Johann Lamberts Konversion zu einer Geometrie des Raumes

Der neue Max-Planck-Forschungsgruppendirektor Vincenzo De Risi wird die Entwicklung eines neuen Geometriekonzepts im 18. Jahrhundert untersuchen.

Im 18. Jahrhundert kämpften zwei sehr verschiedene Auffassungen von Geometrie um die Vorherrschaft in Deutschland und in Europa. Die erste von ihnen stützte sich auf die klassische Definition von Geometrie als einer Wissenschaft von kontinuierlichen Größen und Figuren: von Dreiecken und Quadraten, Kreisen und Kegelschnitten, von parallelen Geraden und stumpfen Winkeln; diese Auffassung von Geometrie ging zurück bis auf Aristoteles und Euklid, sie wurde von Mathematikern und Philosophen während der ganzen Antike beibehalten, im Islamischen Mittelalter, im italienischen Quattrocento und in der späten europäischen Renaissance von Clavius bis Newton.

Zugleich hatte sich jedoch in einigen kühnen Essays über Perspektive und Parallelentheorie eine zweite Auffassung von Geometrie abzuzeichnen begonnen: Dass Geometrie eine Wissenschaft vom Raum sein könnte und dass der Raum eine geometrische Struktur aufweisen könnte, die grundlegender ist als jedes Dreieck oder jede andere Figur, die in ihm beschrieben werden kann. In dieser neuen Theorie bildete der Raum nicht mehr einen amorphen Hintergrund, eine Art geistiger Arena, in der die eigentliche Geometrie ihre Zirkel-und Lineal-Konstruktionen ausführt, sondern der Raum wird selbst zu einem geometrischen Objekt, das spezifische Eigenschaften aufweist.

Diese moderne und tiefgreifende Auffassung von Geometrie wurde hauptsächlich von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) anvisiert; er entwickelte sie in Hunderten mathematischer und philosophischer Abhandlungen als Teil einer geometrischen analysis situs. Die mathematischen Ergebnisse dieses Projekts wurden zu seinen Lebzeiten nicht veröffentlicht und auch nicht während des ganzen 18. Jahrhunderts. Doch Leibnizens philosophische Argumente und epistemologische Annahmen über die Notwendigkeit einer eigenen Geometrie des Raumes fanden gleichwohl einige Anhänger. In Deutschland sorgte die neue „Leibnizsche“ Schule von Christian Wolff (1679-1754) und dessen Nachfolgern für eine weite Verbreitung der Idee, dass die Geometrie eine Wissenschaft vom Raum sein müsse. Das Hauptproblem lag jedoch darin, dass Wolffs mathematische Fähigkeiten bei weitem nicht ausreichten, um wiederzuentdecken, was Leibniz in den vierzig Jahren seiner geometrischer Untersuchungen aufgeschrieben hatte – was dann aber in der Bibliothek von Hannover begraben lag. Wolff verkündete, dass Geometrie die Wissenschaft des Raumes sei, und dass eine sorgfältige Analyse des Raumbegriffs ein ergiebiges Feld bieten würde, in dem man das Ganze der Geometrie gründen könnte; dann fuhr er aber so fort, dass er die üblichen Euklidischen Definitionen und Axiome vorstellte (die von Geraden und Kreisen handelten, nicht vom Raum) und mit Zirkel und Lineal eins nach dem andern die gewöhnlichen Theoreme und Probleme der Elemente konstruierte. Die Geometrie des Raumes blieb also eine Idee ohne jeden realen Inhalt. Später im 18. Jahrhundert musste sogar der bekannte Leibnizianer und anti-kantianische Polemiker Johann Augustus Eberhard (1739-1809) zugeben, dass Leibnizens Definition der Geometrie als einer Wissenschaft von situs und Raum in der Mathematik so gut wie nutzlos war.

Zumindest am Anfang also trug der „konservative Flügel“ der deutschen Mathematiker und Philosophen, welche die Geometrie nach wie vor als Wissenschaft von Größen und Figuren betrachteten und den Raum als formloses und ungeometrisches Behältnis für die eigentlichen mathematischen Objekte betrachteten, einen leichten Sieg davon.

Die Geschichte von Johann Heinrich Lambert (1728-1777) ist dabei besonders erhellend. Seine Anfänge als Mathematiker und als Epistemologe zeigen deutlich, dass er seine philosophischen Untersuchungen über Mathematik in ganz klassischer Weise anfing, und dass er die Wolffsche Raumkonzeption zugunsten der Euklidischen verwarf. In seinem ersten größeren philosophischen Werk, Neues Organon (aus dem Jahre 1764), vertrat er die Auffassung, dass die Vorstellung des Raumes einfach sei (nicht zusammengesetzt), und daher nicht analysiert werden könne; damit war die bloße Vorstellung von Geometrie als Analyse des Raumes bereits entschieden ausgeschlossen. Im Jahr darauf (am 21. April) schrieb Lambert an Georg Jonathan Holland, dass die Geometrie von Euklid zu Recht nicht als Analyse des Raumbegriffs durchgeführt werde, sondern als dessen Anatomie. Der Mathematiker gehe richtig vor, behauptete er, wenn er von der einfachen Idee der Ausdehnung ausgehe und diese in Stücke (in geometrische Figuren) zerschneide, welche dann ihrerseits alle die geometrischen Eigenschaften aufwiesen, die dem Raum selbst abgingen. Noch später im selben Jahr 1765 (am 13. November) schrieb er an Kant, Wolff habe Euklid komplett mißverstanden. Am 3. Februar 1766 bekräftigte er in einem weiteren Brief an Kant erneut, die Vorstellung des Raumes sei einfach, und dass sie nirgendwo in Euklids Elementen auftauche – zu Recht, denn sie sei faktisch nutzlos.

Aber dann verstummten Lamberts kühne Behauptungen plötzlich. Tatsächlich war er auf eine kurze Abhandlung (aus dem Jahr 1763) des Mathematikers Georg Simon Klügel (1739-1812) gestoßen, in der eine Reihe von Versuchen, das Parallelenpostulat zu beweisen, im Detail beschrieben wurden. Das Thema faszinierte Lambert und er begann, es eingehender zu untersuchen, was ihn schließlich zu seinem eigenen Versuch eines Beweises für das berühmte Axiom führte. Seine Theorie der Parallellinien wurde (vermutlich) im folgenden September (1766) geschrieben, aber sie wurde zu einem unverkennbaren Fehlschlag. Lambert veröffentlichte sie niemals und er musste sich mit der schwächeren Position begnügen, in der das Parallelen-Postulat die Stellung eines nicht beweisbaren Prinzips für die gesamte geometrische Wissenschaft einnimmt. Gleichwohl barg dieser Fehlschlag eine Lehre für den Epistemologen.

Einer der wichtigen Durchbrüche in der Theorie der Parallelität war John Wallis’ (1613-1703) Abhandlung De Postulato Quinto von 1663 (erstmals veröffentlicht 1693), die Lambert wahrscheinlich bei seinem eigenen Versuch, das Euklidsche Axiom zu beweisen, zur Kenntnis nahm. Wallis hatte bewiesen, dass die Annahme des Parallelen-Postulats äquivalent war zur Möglichkeit, eine beliebige Figur in eine ähnliche zu transformieren; wenn beispielsweise ein Dreieck gegeben ist, dann ist es möglich, ein ähnliches Dreieck (das heißt ein Dreieck mit gleichen Winkeln und kleineren oder größeren proportionalen Seiten) zu konstruieren dann und nur dann, wenn das Parallelen-Postulat gilt. Mit seinem Charakterisierungstheorem behauptete Wallis, das Euklidische Axiom selbst bewiesen zu haben, weil er meinte, metaphysische Gründe dafür zu haben, dass jede Figur quantitativ transformiert (das heißt vergrößert oder verkleinert) werden könne, ohne zugleich qualitativ oder in ihrer Gestalt verändert zu werden; von daher behauptete er, das Ähnlichkeitsprinzip sei fraglos wahr und damit (dank seines Theorems) auch das Parallelen-Postulat selbst.

Die Reaktionen der Gelehrten auf Wallis’ Beweisgang waren unterschiedlich; doch zeigte er jedenfalls, dass das Parallelen-Postulat, das in Euklids Wortlaut ein Axiom über Geraden und Winkel war, tatsächlich mit etwas viel Abstrakterem und Unvertrauterem zu tun hat. Es handelt von der Möglichkeit bestimmter Transformationen im Raum, die sämtliche möglichen Figuren und Größen betreffen; letztlich erweist es sich in Wahrheit als ein Axiom über die Struktur des Raumes selbst. Dieses letztere Verständnis war wahrscheinlich der größte Fortschritt, den Wallis’ Arbeit über den Parallelismus in der Geometrie des 18. Jahrhunderts bewirkte.

Es ist unschwer einzusehen, dass Lambert diesem Resultat große epistomologische Bedeutung beimessen musste. Sein Versuch, das Parallelenpostulat mit rein mathematischen Argumenten zu beweisen, war wahrscheinlich auch ein Versuch, seine philosophische Bedeutung zu entschärfen. Als er daran scheiterte, und sich klarmachte, was daraus für Folgerungen zu ziehen waren, wurde ihm bewusst, dass es schlicht unmöglich für ihn war, das Euklidische Axiom als ein Prinzip über gerade Linien anzusehen: es hatte sich für ihn als Aussage über Transformationen und die Struktur des Raumes enthüllt und er konnte nicht länger „Ausdehnung“ als formlosen Hintergrund verstehen, oder als „einfache Idee“, ohne jeden geometrischen Inhalt.

In einer späteren Arbeit, die er 1771 veröffentlichte, Anlage zur Architektonik, war Lambert gezwungen, geometrische Axiome nicht nur über Figuren oder Größen sondern auch über den Raum selbst zu formulieren. Das zweite dieser Axiome ist genau das Parallelenpostulat, an dessen Beweis er scheiterte, in der Wallis’schen Form: Der Raum hat keine bestimmte Einheit ... . Er war also übergeschwenkt zur Leibnizschen Idee einer Geometrie des Raumes, nicht einfach aufgrund philosophischer Argumente, sondern durch einen mühsamen (und schönen) Versuch, ein bestimmtes mathematisches Resultat zu beweisen.

Die Geschichte von Lamberts „Konversion“ von Euklid zu Leibniz ist sehr sprechend, was die Beziehungen zwischen Mathematik und Philosophie im 18. Jahrhundert betrifft, und sie ist ein wichtiges Ereignis in der allmählichen Transformation der klassischen Geometrie zu einer modernen Geometrie der Räume. Andere Denker, Mathematiker wie Philosophen, kamen in denselben Jahren, allerdings aus ganz anderen Gründen, zu demselben Resultat; und die Generation nach Lambert schließlich betrachtete die Definition von Geometrie als Wissenschaft vom Raum als so offenkundig, dass sie nicht einmal mehr einer Erklärung bedurfte.

Die Forschungsgruppe Moderne Geometrie und der Begriff des Raums verfolgt unter anderem das Ziel, Lamberts Rolle in der begrifflichen Entwicklung der Geometrie im 18. Jahrhundert zu untersuchen und zu erforschen, wie in denselben Jahren andere Akteure mit anderen Zielsetzungen darin konvergierten, dass sie dieselben bedeutsamen Resultate bekräftigten.

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Autograph of “Ars Representatoria” by Gottfried Wilhelm Leibniz. Reproduced with friendly permission of the Leibniz-Archiv at the Niedersächsische Landesbibliothek Hannover.

Weitere Informationen

Lamberts „Sämtliche Werke“. Zur Website

Vincenzo De Risis, „Geometry and Monadology. Leibniz's Analysis Situs and Philosophy of Space“, Birkhäuser: Basel 2007. Mehr Informationen

Das Max Planck Forschungsprojekt „Modern Geometry and the Concept of Space“. Zur Website

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